일반 상대성 이론의 텐서 공식에서



보통의 좌표변환을 벡터공간이나 함수공간에 까지 확장적용해서 일반적인 좌표변환에 대한 물리법칙이 불변인 것을 쉽게 표현하고자 할때
(아래첨자는 텐서 T에 대해 T_u 로 표현하고 위첨자는 T^u 같은 식으로 표현하겠습니다.)



일반상대성이론은 G_u_v = -8 * pi * G * T_u_v 인 G_u_v의 텐서형태를 구하는 데

T_u_v는 에너지모멘텀 텐서라고 하는데 자유입자에 대해선 ∂/∂x^(beta) * T^(alpha*beta) (x) = 0 이 됩니다.



일반적으론



T^(alpha*beta) = ∑(n) p_n^(alpha) * dx_n^beta / dt * delta^3(x-x_n(t)) + T_em ^(alpha*beta)



T_em^(alpha*beta) = F^alpha_gamma * F^(beta*gamma) = 1/4*η^(alpha*beta)*F^2

이라는 것은 누구나 다 알고 있는 기본 상식이죠.





하지만 전 그 다음 부터인

일반적 텐서의 covariant 미분은 A_i;j = ∂A_i / ∂x^j - {alpha, i*j} * A_alpha

{alaph, i*j} 는 Christoffel symbols of second kind

로 표현한다는데 왜 그렇게 되는지 잘 모르겠습니다.




또한

R_uv - 1/2 g_uv R - lambda * g_uv = -8 * pi * G * T_uv



R_uk = g^(l*v) * R_(u*l*v*k) ; Ricci Tensor

R = g^(l*v)*g^(u*k) * R_(l*u*v*k)

R_(ijkl) = 1/2(∂^2/(∂x^j*∂x^k) * g_il - ∂^2/(∂x^i*∂x^k) * g_jl - ∂^2/(∂x^j*∂x^l) * g_ik

+ ∂^2/(∂x^i*∂x^l) * g_jk) + g^(ab)([jk,b][il,a] - [jl,b][ik,a])

{k,ij} = g^(ka) * [ij,a]

[ij,k] = 1/2(∂g_ik/∂x^j + ∂g_jk/∂x^i - ∂g_ij/∂x^k)



R^i_jkl 이 metric tensor 와 그 1차 혹은 2차 미분으로 만들어 지고 2차미분에 선형인 유일한 텐서인 이유도 알고 싶군요~


꼭 대답해 주세요~